Grupo cíclico

Carta Común · N.º 346026

En teoría de grupos, un grupo cíclico es aquel que puede ser generado por un solo elemento; es decir, hay un elemento a del grupo G (llamado "generador" de G), tal que todo elemento de G puede ser expresado como una potencia de a. Si la operación del grupo se denota aditivamente, se dirá que todo elemento de G se puede indicar como un múltiplo de a, para n entero. En otras palabras, G es cíclico, con generador a, si G = { an | n ∈ Z }. Dado que un grupo generado por un elemento de G es, en sí mismo, un subgrupo de G, basta con demostrar que el único subgrupo de G que contiene a a es el mismo G para probar que éste es cíclico. Por ejemplo, G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 } es cíclico. De hecho, G es esencialmente igual (esto es, isomorfo) al grupo { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } bajo la operación de suma módulo 6. El isomorfismo se puede hallar fácilmente haciendo ga→ a. Contrariamente a lo que sugiere la palabra "cíclico", es posible generar infinitos elementos y no formar nunca un ciclo real: es decir…

Leer en Wikipedia · Imagen Original: Jakob.scholbach Vector: Pbroks13, CC BY-SA 3.0