Corps algébriquement clos

Carte Commune · n° 267828

En mathématiques, un corps commutatif K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K. Autrement dit, c'est un corps qui n'a pas d'extension algébrique propre. Si K est algébriquement clos, tout polynôme non constant à coefficients dans K est scindé dans K, c'est-à-dire produit de polynômes du premier degré. Le nombre de ses racines dans K (comptées avec leur ordre de multiplicité) est donc exactement égal à son degré. Par exemple, le corps des nombres réels n'est pas algébriquement clos, parce que le polynôme X2 + 1 n'a pas de racine réelle. Au contraire, le corps des nombres complexes est algébriquement clos : c'est le théorème fondamental de l'algèbre aussi connu sous le nom du théorème de d'Alembert-Gauss. Tout corps K a une clôture algébrique, qui est « le » plus petit corps algébriquement clos dont K est un sous-corps. La clôture algébrique d'un corps donné est unique à K-isomorphisme près (isomorphisme...

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