Opérateur unitaire

Carte Commune · n° 462605

En analyse fonctionnelle, un opérateur unitaire est un opérateur linéaire U d'un espace de Hilbert tel queU*U = UU* = Ioù U* est l'adjoint de U, et I l'opérateur identité. Cette propriété est équivalente à : U est une application d'image dense et U préserve le produit scalaire ⟨ , ⟩. Autrement dit, pour tous vecteurs x et y de l'espace de Hilbert, ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ (ce qui entraîne que U est linéaire). D'après l'identité de polarisation, on peut remplacer « U préserve le produit scalaire » par « U préserve la norme » donc par « U est une isométrie qui fixe 0 ». Le fait que U soit une isométrie assure qu'il est injectif et que son image est complète donc fermée donc (par densité) que U est surjectif. La bijection réciproque U−1 = U* est également un opérateur unitaire. Par conséquent, les opérateurs unitaires apparaissent comme des isomorphismes de l'espace de Hilbert, c’est-à-dire qu'ils en préservent la structure algébrique et métrique.

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