Analyse harmonique sur un groupe abélien fini

Carte Commune · n° 499378

En mathématiques, l'analyse harmonique sur un groupe abélien fini est un cas particulier de l'analyse harmonique, lorsque l'on travaille sur un groupe abélien fini. Une des motivations de cette théorie est de discrétiser la théorie des séries de Fourier. En effet, la théorie de Fourier peut être vue comme l'analyse de Fourier du cercle unité, qu'il est naturel de discrétiser par les groupes cycliques ℤ/nℤ. On retrouve alors la transformation de Fourier discrète. Par analogie avec l'analyse harmonique réelle, on peut définir sur un groupe abélien fini un produit de convolution ainsi qu'une transformation de Fourier. On retrouve alors l'analogue de nombreux résultats classiques, comme le théorème de Plancherel, l'égalité de Parseval ou la formule sommatoire de Poisson. Contrairement à l'analyse de Fourier sur des groupes plus généraux, la théorie est souvent présentée comme plus simple dans le cas des groupes abéliens finis, car le groupe dual est toujours isomorphe au groupe d'origine. En...

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