Ensemble bien ordonné

Carte Commune · n° 208379

En mathématiques, un ensemble ordonné (E, ≤) est bien ordonné et la relation ≤ est un bon ordre si la condition suivante est satisfaite : Toute partie non vide de E possède un plus petit élément. Formellement cela donne ∀X⊆E, X≠∅ ⇒ (∃u∈X, ∀v∈X u≤v). Si (E, ≤) est bien ordonné alors ≤ est nécessairement un ordre total, c'est-à-dire que deux éléments quelconques x et y de E sont toujours comparables. En effet, l'ensemble { x, y } possède un plus petit élément, donc on a x ≤ y ou y ≤ x. Si de plus l'axiome du choix dépendant est vérifié, cette propriété (être bien ordonné) est équivalente, pour un ordre présupposé total, à la condition de chaîne descendante « il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante ». D'après le théorème de Zermelo, l'axiome du choix dans toute sa force équivaut au fait que tout ensemble peut être bien ordonné.

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