Fonction êta de Dirichlet

Carte Commune · n° 403069

La fonction êta de Dirichlet est une fonction utilisée en théorie analytique des nombres. Elle peut être définie par : η(s)=(1−21−s)ζ(s) où ζ est la fonction zêta de Riemann. Inversement, cette relation peut aussi être utilisée pour définir la fonction zêta sauf aux zéros du facteur 1–21–s. Elle possède une expression sous forme de série de Dirichlet suivante, valable pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement positive : η(s)=∑n=1∞(−1)n−1ns, d'où son nom parfois donné de fonction zêta alternée. Cette série converge seulement pour s de partie réelle strictement positive, mais elle est sommable au sens d'Abel pour tout nombre complexe, ce qui permet de définir la fonction êta comme fonction entière, et montre que la fonction zêta est méromorphe avec un pôle singulier en s = 1, et peut-être aussi des pôles aux autres zéros du facteur 1–21–s. De manière équivalente, on peut commencer par définir la fonction êta, également pour s de partie réelle strictement positive, par l'intégrale...

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