Nombre de Liouville

Carte Peu commune · n° 161234

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la propriété suivante :pour tout entier naturel n, il existe des entiers qn⩾2 et pn⩾1 tels que 0<|x−pnqn|<1(qn)n, ou, ce qui est équivalent : pour tout entier naturel n et tout réel A>0, il existe des entiers q⩾2 et p⩾1 tels que 0<|x−pq|<Aqn. Un nombre de Liouville peut ainsi être approché « de manière très fine » par une suite de nombres rationnels. En 1844, Joseph Liouville montra qu'il existe des nombres vérifiant la seconde propriété et que tous sont transcendants, établissant ainsi pour la première fois l'existence de nombres transcendants.

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