Théorème de Wantzel

Carte Commune · n° 312931

Le théorème de Wantzel, énoncé par Pierre-Laurent Wantzel en 1837, précise les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un nombre soit constructible. Il s'énonce aujourd'hui de la façon suivante. Le nombre réel a est constructible si et seulement s'il existe une suite finie de corps Li telle que L0 = ℚ ; Li+1 est une extension quadratique de Li pour 0 ≤ i < n ; le réel a appartient à Ln. Wantzel déduit de son théorème une condition nécessaire pour qu'un nombre a soit constructible : Si le réel a est constructible alors le degré de son polynôme minimal sur ℚ est une puissance de 2. Cette condition nécessaire permet (par sa contraposée) de démontrer que la duplication du cube et la trisection de l'angle ne sont pas réalisables à la règle et au compas. Toutefois, cette condition nécessaire n'est pas suffisante. Par exemple, le polynôme X4 + 2X – 2 est bien irréductible (dans ℚ[X]) de degré 4 mais ses racines ne sont pas constructibles.

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