Compacité (mathématiques)

Carte Rare · n° 50878

En mathématiques, et plus précisément en topologie, on dit d'un espace qu'il est compact s'il est séparé et vérifie la propriété de Borel-Lebesgue. La compacité revêt une importance fondamentale en topologie, et possède des applications dans de nombreux domaines des mathématiques. Plusieurs propriétés des segments de la droite réelle ℝ se généralisent aux espaces compacts, ce qui les rend par exemple utiles pour prouver qu'une fonction admet des extrema. La notion de compacité admet plusieurs variantes en topologie générale. Un espace quasi-compact est un espace qui vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, sans être nécessairement séparé. Certains résultats sur les espaces compacts demeurent vrais pour les espaces quasi-compacts, comme le théorème des bornes généralisé ou le théorème de Tychonov. On définit également les espaces dénombrablement compacts et les espaces séquentiellement compacts. Ces variantes sont équivalentes à la compacité dans un espace métrique. Le nom « propriété de...

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