Matrice compagnon

Carte Peu commune · n° 167471

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire p(X)=c0+c1X+⋯+cn−1Xn−1+Xn est la matrice carrée suivante : C(p)=(00⋯0−c010⋯0−c101⋯0−c2⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1−cn−1), mais il existe d'autres conventions : la matrice transposée de celle ci-dessus ; une variante de cette transposée : la matrice (−cn−1−cn−2⋯−c1−c010⋯0001⋯00⋮⋮⋱⋮⋮00⋯10). Le polynôme caractéristique de C(p) est égal à p (ou (–1)np selon la convention choisie pour le polynôme caractéristique) ; en ce sens, la matrice C(p) est la « compagne » du polynôme p. Si le polynôme p possède n racines distinctes λ1, …, λn (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante : VC(p)V−1=diag(λ1,…,λn) où V est la matrice de Vandermonde associée à λ1, …, λn. Réciproquement, la matrice compagnon n'est diagonalisable que dans ce cas, puisque ses espaces propres sont de dimension 1. Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps commutatif K, alors les propositions suivantes sont...

Lire sur Wikipédia