Groupe monogène

Carte Commune · n° 394976

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe monogène est un groupe tel qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a ou de son opposé (en notation additive) ou comme puissance de a ou de son inverse (en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe. Autrement dit, un groupe monogène est un groupe qui admet un singleton comme partie génératrice. Ainsi, un groupe G est monogène s'il existe un élément a de G tel que G={na:n∈ℤ}={…,−2a,−a,0,a,2a,…} en notation additive, ou bien G={an:n∈ℤ}={…,a−2,a−1,1,a,a2,…} en notation multiplicative. Lorsque le groupe est fini, on parle plutôt de groupe cyclique. Il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe infini monogène : le groupe additif dénombrable ℤ des entiers relatifs et, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient ℤ/nℤ — également noté ℤn ou Cn — de ℤ par le sous-groupe des multiples...

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