Équations de Cauchy-Riemann

Carte Peu commune · n° 190929

Les équations de Cauchy-Riemann en analyse complexe, ainsi nommées en l'honneur d'Augustin Cauchy et Bernhard Riemann, sont les deux équations aux dérivées partielles∂P∂x=∂Q∂yet∂P∂y=−∂Q∂xexprimant une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f = P + i Q (d'une variable complexe, à valeurs complexes) différentiable au sens réel en un point soit différentiable au sens complexe en ce point. En d'autres termes, ce sont les conditions à ajouter à la différentiabilité au sens réel pour obtenir la différentiabilité au sens complexe. Lorsque la fonction est différentiable au sens réel en tout point d'un ouvert, ces équations expriment une condition nécessaire et suffisante pour qu'elle soit holomorphe sur cet ouvert. On considère une fonction f:U→ℂ d'une variable complexe, définie sur un ouvert U du plan complexe ℂ. On utilise ici les notations suivantes : la variable complexe z est notée x + i y, où x, y sont réels ; les parties réelle et imaginaire de f(z) = f(x + i y) sont notées...

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