Fraction continue et approximation diophantienne

Carte Commune · n° 436877

En mathématiques, la fraction continue d'un irrationnel x fournit une approximation diophantienne de x. Plus précisément, la réduite d'indice n, c'est-à-dire la fraction limitée à n étapes, est un rationnel qui approxime x (par défaut si n est pair et par excès si n est impair). Réciproquement, si l'on considère une fraction continue infinie, c'est-à-dire une suite infinie (an) dont le premier terme a0 est un entier relatif et tous les suivants sont des entiers strictement positifs, la suite de ses réduites converge vers un irrationnel x dont la fraction continue est constituée des an. Les fractions réduites hn/kn fournissent les meilleures approximations rationnelles d'un irrationnel x, au sens suivant : la réduite d'indice n est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/kn2 et, si une fraction p/q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1/(2q2) alors p/q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation. Les fractions...

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