Arithmétique des polynômes

Carte Commune · n° 378194

En algèbre, l'arithmétique des polynômes décrit, parmi les propriétés des polynômes, celles qui sont de nature arithmétique. Elles sont en partie analogues à celles des entiers relatifs. L'anneau commutatif K[X] des polynômes formels à une indéterminée X et à coefficients dans un corps commutatif K, par exemple le corps des nombres réels ou celui des complexes, dispose d'une division euclidienne. Les propriétés de la division euclidienne sont à l'origine des théorèmes clés de l'arithmétique élémentaire. Il en est de même pour l'arithmétique des polynômes. On démontre de la même manière l'identité de Bézout et le lemme d'Euclide. L'existence et l'unicité (à l'ordre près) de la décomposition en facteurs irréductibles d'un polynôme s'avère être un équivalent du théorème fondamental de l'arithmétique, les polynômes irréductibles et unitaires jouant le rôle des nombres premiers. Ces résultats ne s'appliquent plus de la même manière si les coefficients sont choisis dans un anneau A comme celui...

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