Espace complet

Carte Peu commune · n° 85710

En mathématiques, un espace métrique est complet si toute suite de Cauchy converge dans ce même espace. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet. Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque √2 n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné. La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques.

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