Équation de Mathieu

Carte Commune · n° 489467

En physique mathématique, on appelle équation de Mathieu une équation mise en évidence par Émile Mathieu au XIXe siècle. C'est un cas particulier de l'équation de Hill : d2xdt2+G(t)x=0 où G(t) est une fonction périodique, avec : G(t)=a−2qcos⁡(2t), périodique de période T=π. Son comportement est assez particulier (résonance paramétrique, existence de sous-harmoniques, etc.). Émile Mathieu l'a rencontrée (1865) en étudiant les vibrations d'une membrane elliptique. Ses solutions seront appelées les fonctions de Mathieu. G. W. Hill, dans sa théorie de la Lune, étudiera aussi une équation semblable. G. Floquet étudiera aussi le comportement de ces solutions (notion d'exposants de Floquet) Félix Bloch, en 1930, réutilisera ces résultats en physique du solide cristallin (donc à coefficients périodiques) : on parle des "fonctions de Bloch dans l'espace des « k » " de la zone de Brillouin. Le pendule paramétrique (le botafumeiro par exemple) relève aussi de cette équation. Les cristaux photoniques...

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