Algèbre d'ensembles

Carte Commune · n° 469597

Le concept intervient dans l'exposition des bases de la théorie de la mesure, sous des noms assez variés dans les sources en français : outre algèbre d'ensembles, et sa variante corps d'ensembles, on trouve aussi algèbre de Boole de parties, ou plus brièvement algèbre de Boole, voire simplement algèbre, et encore anneau booléen unitaire ou clan unitaire. Cette définition évoque celle d'une tribu ; en les rapprochant on constate immédiatement qu'un ensemble de parties d'un ensemble est une tribu si et seulement si c'est une algèbre d'ensembles stable par réunion dénombrable. Dans l'esprit de la théorie de la mesure, un exemple significatif d'algèbre d'ensembles est l'algèbre composée des unions finies d'intervalles de la droite réelle (tous types d'intervalles, bornés ou non) ; ce n'est pas une tribu. En quelques manipulations, on se convainc que la définition donnée plus haut équivaut à exiger les cinq propriétés suivantes : ∅∈ℬ X∈ℬ ℬ est stable par complémentation ℬ est stable par union...

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