Théorème d'Abel (algèbre)

Carte Peu commune · n° 142536

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème d'Abel, parfois appelé théorème d'Abel-Ruffini ou encore théorème de Ruffini, indique que pour tout entier n supérieur ou égal à 5, il n'existe pas de formule générale exprimant « par radicaux » les racines d'un polynôme quelconque de degré n, c'est-à-dire de formule n'utilisant que les coefficients, la valeur 1, les quatre opérations et l'extraction des racines n-ièmes. Ceci contraste avec les degrés 2, 3 et 4 pour lesquels de telles formules génériques existent, la plus connue étant celle pour le degré 2, qui exprime les solutions de ax2 + bx + c = 0 sous la forme (–b ± √b2 – 4ac)/2a. Ce résultat est exprimé pour la première fois par Paolo Ruffini, puis démontré rigoureusement par Niels Henrik Abel. Un théorème ultérieur d'Évariste Galois donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Cette version plus précise permet d'exhiber des équations de degré 5, à coefficients...

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