Nombre de Fermat

Carte Peu commune · n° 168517

Un nombre de Fermat est un nombre qui peut s'écrire sous la forme 22n+1, avec n entier naturel. Le nombre de Fermat de rang n, 22n+1, est noté Fn. La suite (Fn), qui débute par 3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297, 18446744073709551617 est répertoriée comme suite A000215 de l'OEIS. Ces nombres doivent leur nom à Pierre de Fermat, qui émit la conjecture que tous ces nombres étaient premiers. Cette conjecture se révéla fausse, F5 étant composé, de même que tous les suivants jusqu'à F32. On ne sait pas si les nombres à partir de F33 sont premiers ou composés. Ainsi, les seuls nombres de Fermat premiers connus sont au nombre de cinq, à savoir les cinq premiers F0, F1, F2, F3 et F4, qui valent respectivement 3, 5, 17, 257 et 65 537. Les nombres de Fermat disposent de propriétés intéressantes, en général issues de l'arithmétique modulaire. En particulier, le théorème de Gauss-Wantzel établit un lien entre ces nombres et la construction à la règle et au compas des polygones réguliers : un polygone...

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