Théorème d'Euler (arithmétique)

Carte Peu commune · n° 177565

En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, s'énonce ainsi : Pour tout entier n > 0 et tout entier a premier avec n (autrement dit : inversible mod n), a φ ( n ) ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}} où φ est la fonction indicatrice d'Euler et mod désigne la congruence sur les entiers. Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où n est un nombre premier. Il se démontre en remarquant que l'exposant λ(n) (appelé l'indicatrice de Carmichael de n) du groupe (ℤ/nℤ)× des inversibles de l'anneau ℤ/nℤ est un diviseur de l'ordre φ(n) de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis...

Lire sur Wikipédia · Image Jakob Emanuel Handmann, Public domain