Lemme de Burnside

Carte Peu commune · n° 180187

Le lemme de Burnside, ou lemme de Cauchy-Frobenius ou encore formule de Burnside, est un résultat de théorie des groupes souvent utile lorsqu'on doit prendre en compte les symétries lors d'un dénombrement. Il a été découvert par Augustin Louis Cauchy et Ferdinand Georg Frobenius puis est devenu célèbre après que William Burnside l'a mentionné. Ce résultat permet de dénombrer les orbites de l'action d'un groupe sur un ensemble, autrement dit les classes d'équivalence formées par l'action de ce groupe. Par exemple, certains composés organiques sont chimiquement identiques si on effectue des rotations et le lemme permet de les dénombrer. Formellement, soit G un groupe fini opérant sur un ensemble X. Pour tout élément g de G, Fix⁡(g) désigne le fixateur de g, ensemble des éléments de X fixés par g (soit laissés invariants sous l'action de g) : Fix⁡(g)={x∈X|g.x=x}. Le lemme de Burnside consiste en la formule suivante donnant le nombre d'orbites sous l'action de G, autrement dit le nombre d...

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