Relations entre coefficients et racines

Carte Peu commune · n° 132561

Un polynôme P de degré n sur un corps K s'écrit sous sa forme la plus générale : P=anXn+an−1Xn−1+⋯+a0 où ai est appelé coefficient de Xi. Si P est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de x qui annulent P. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet exactement n racines sur ℂ, éventuellement multiples (sur ℝ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme P à coefficients complexes peut se réécrire : P=an(X−x1)(X−x2)⋯(X−xn), avec xi les racines de P, éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

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