Commune
Groupe libre
groupe remarquable de la théorie mathématique des groupes
Groupe libre
En théorie des groupes, le groupe libre sur un ensemble S est le groupe F contenant S et caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout groupe G et toute application f : S → G, il existe un unique morphisme de groupes de F dans G prolongeant f. Soit encore, un groupe G est dit libre sur un sous-ensemble S de G si chaque élément de G s'écrit de façon unique comme produit réduit d'éléments de S et d'inverses d'éléments de S (réduit signifiant : sans occurrence d'un sous-produit de la forme x.x−1). Un tel groupe est unique à isomorphisme près ce qui justifie le qualificatif le dans la définition. En général, on le notera FS ou L(S). Intuitivement, FS est le groupe engendré par S, sans relations entre les éléments de S autres que celles imposées par la structure de groupe.
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