Lemme d'Euclide

Carte Peu commune · n° 143705

En mathématiques, le lemme d'Euclide est un résultat d'arithmétique élémentaire sur la divisibilité qui correspond à la Proposition 30 du Livre VII des Éléments d'Euclide. Il s'énonce ainsi : Une généralisation est : Formellement : si a|bc et PGCD(a, b) = 1, alors a|c. Dans le traité de Gauss, les Disquisitiones arithmeticae, l'énoncé du lemme d'Euclide constitue la proposition 14 (section 2), qu'il utilise pour prouver l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers d'un entier (théorème 16), admettant l'existence comme « évidente ». De cette existence et unicité, il déduit alors « son » lemme (article 19). Le lemme, ou théorème, de Gauss apparaît déjà dans les Nouveaux élémens de mathématiques de Jean Prestet en 1689. Le lemme de Gauss se généralise à tout anneau (commutatif, unitaire) intègre à PGCD, en particulier à tout anneau principal comme celui des polynômes sur un corps.

Lire sur Wikipédia · Image Charles Thomas-Stanford, Public domain