Corps de rupture

Carte Commune · n° 226258

En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des corps commutatifs, un corps de rupture d'un polynôme irréductible P(X) à coefficients dans un corps commutatif K est une extension minimale de K contenant au moins une racine du polynôme. On parle aussi du corps obtenu par adjonction au corps K d'une racine de P. On démontre qu'avec la définition choisie, si P(X) est un polynôme irréductible, tous les corps de rupture de P(X) sont isomorphes à K[X]/(P(X)), quotient de l'anneau commutatif K[X] des polynômes à une indéterminée et à coefficients dans K par l'idéal engendré par le polynôme P(X), que l'on peut voir aussi comme l'anneau des restes de la division euclidienne de ces polynômes par P(X). Ce quotient fournit une construction d'un corps de rupture de P. Ce corps peut ne pas contenir l'intégralité des racines de P, c'est-à-dire que P ne se décompose pas forcément en produit de facteurs du premier degré sur K[X]/(P(X)). Mais il est alors possible de réitérer...

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