Groupe de Heisenberg

Carte Commune · n° 430911

En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau : H3(A)={(1ac01b001) | a,b,c∈A}. Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », H3(ℝ), lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique. Le « groupe de Heisenberg discret » H3(ℤ) correspond à l'anneau ℤ des entiers. Le groupe de Heisenberg H3(Fp), où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini Fp = ℤ/pℤ. C'est un p-groupe fini, d'ordre p3.

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