Théorème des fonctions implicites

Carte Peu commune · n° 141058

En mathématiques, le théorème des fonctions implicites est un résultat de géométrie différentielle. Certaines courbes planes sont définies par une équation cartésienne, c'est-à-dire une équation de la forme f(x, y) = 0, où x et y décrivent les nombres réels. Le théorème indique que si la fonction f est suffisamment régulière au voisinage d'un point de la courbe, il existe une fonction φ de ℝ dans ℝ au moins aussi régulière que f telle que localement, la courbe et le graphe de la fonction φ sont confondus. Plus précisément, si (x0, y0) vérifie l'équation, si f est continûment différentiable et si sa dérivée partielle par rapport à y en (x0, y0) n'est pas nulle alors, au voisinage de (x0, y0), la courbe s'identifie au graphe de φ. Ce théorème admet une variante plus générale, qui s'applique non plus au plan, mais à des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets. Il équivaut au théorème d'inversion locale, qui indique qu'une fonction différentiable et « suffisamment...

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