Théorème des fermés emboîtés

Carte Commune · n° 357259

En mathématiques, plus précisément en topologie, le théorème des fermés emboîtés affirme que si un espace métrique (E, d) est complet alors, pour toute suite décroissante de fermés non vides Fn de E dont le diamètre tend vers zéro, l'intersection des Fn est un singleton. La réciproque de ce théorème est vraie : si un espace métrique vérifie la propriété des fermés emboîtés alors il est complet. En effet, pour toute suite x, l'intersection des fermés emboîtés {xn | n ≥ N} est l'ensemble des valeurs d'adhérence de x, et la suite est de Cauchy si et seulement si la suite de leurs diamètres tend vers 0. Par conséquent, si l'espace vérifie la propriété des fermés emboîtés, alors toute suite de Cauchy possède une valeur d'adhérence, donc converge. Lorsque E = ℝ et les fermés sont des intervalles fermés, le théorème prend la forme suivante : soit [an, bn] une suite décroissante de segments de ℝ tels que bn – an tende vers zéro, alors l'intersection des segments [an, bn] est un singleton. Ce...

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