Élément maximal

Carte Commune · n° 365731

En mathématiques, un élément est dit maximal dans un ensemble ordonné (voire préordonné) s'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur. Il est dit minimal si aucun autre élément ne lui est inférieur. En particulier un maximum ou plus grand élément est un élément strictement supérieur à tous les autres, tandis qu’un minimum ou plus petit élément est strictement inférieur à tous les autres. Ces notions ne dépendent pas seulement de l’élément lui-même mais surtout de l’ensemble considéré. Dans un ensemble totalement ordonné, un élément maximal est toujours le maximum, mais ce n’est pas toujours vrai dans un ensemble qui n’est que partiellement ordonné. En revanche, lorsqu’il existe un maximum, c’est toujours le seul élément maximal. Le maximum et le minimum définissent les extrémités d’un segment [a,b] dans ℝ, tandis qu’un intervalle ouvert de la forme ]a,b[ n’a ni maximum, ni minimum. La recherche des éléments maximaux ou minimaux est l’objectif du domaine de l...

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