Racine d'un nombre complexe

Carte Commune · n° 243733

Une racine carrée (complexe) d'un nombre complexe z est un nombre complexe w vérifiant w2 = z. Tout nombre complexe a exactement deux racines carrées (complexes) opposées, distinctes, excepté 0, dont 0 est la seule racine carrée. Par exemple, les deux racines carrées (complexes) de –1 sont i et –i où i est l'unité imaginaire. Plus généralement, une racine n-ième de z est un nombre complexe w vérifiant wn = z. Hormis 0, tout nombre complexe admet exactement n racines n-ièmes distinctes. Par exemple, j = (–1 + i√3) / 2 est une racine troisième de 1. Les racines n-ièmes de l'unité 1 forment un groupe pour le produit, noté Un, qui est un groupe cyclique d'ordre n. Il n'existe aucune détermination continue d'une racine carrée sur ℂ. Plus précisément, il n'existe aucune application continue f : ℂ\{0} → ℂ telle que (f(z))2 = z.

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