Théorie algébrique des nombres

Carte Commune · n° 368056

En mathématiques, la théorie algébrique des nombres est la branche de la théorie des nombres utilisant des outils issus de l'algèbre. Son origine est l'étude des nombres entiers et particulièrement les équations diophantiennes. Pour en résoudre certaines, il est utile de considérer d'autres entiers, dits algébriques. Un exemple est donné par le théorème des deux carrés de Fermat utilisant les entiers de Gauss. Ces ensembles sont équipés de deux lois — une addition et une multiplication — qui vérifient les mêmes propriétés élémentaires que les entiers relatifs : on parle d'anneaux. En particulier, certains d'entre eux disposent d'une division euclidienne. Les résultats classiques de l'arithmétique des entiers naturels s'appliquent encore : lemme d'Euclide, identité de Bézout ou encore théorème fondamental de l'arithmétique. Une structure est particulièrement utilisée, celle de l'anneau quotient ℤ/nℤ composée de congruences sur les entiers. Elle est à l'origine d'une branche de la théorie...

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