Fonction implicite

Carte Commune · n° 440380

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation. Plus précisément si f est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples (x,y) vérifiant l'équation. Ou encore, l'équation f(x,y) = 0 définit une fonction implicite de E vers F, s'il existe une fonction φ dite explicite telle que, pour tout (x,y) de E × F, f(x,y) = 0 équivaut à y = φ(x). Cela revient à dire que le graphe de la relation binaire : x R y ssi f(x,y) = 0 est le graphe d'une fonction. Il est parfois possible de prouver l'existence locale d'une fonction implicite pour une équation touchant deux variables réelles, sans l'exhiber...

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