Formule de Legendre

Carte Commune · n° 309973

En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, la formule de Legendre donne une expression, pour tout nombre premier p et tout entier naturel n, de la valuation p-adique de la factorielle de n (l'exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n!, ou encore, le plus grand entier v tel que pv divise n!) : vp(n!)=⌊n/p⌋+⌊n/p2⌋+⋯=∑k=1∞⌊n/pk⌋=∑k=1⌊logp(n)⌋⌊n/pk⌋ où ⌊x⌋ désigne la partie entière de x, également notée E(x). Cette formule peut se mettre sous la deuxième forme vp(n!)=n−sp(n)p−1 où sp(n) désigne la somme des chiffres de n en base p.

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